Teoria dell'ala
In generale, si può assimilare ad un'ala qualsiasi superficie che, movendosi in un fluido qualsiasi (aria o anche acqua) determini la nascita di forze fluidodinamiche. Le considerazioni che andremo esponendo potranno dunque essere estese assai facilmente alle vele di una barca a vela, o alla pinna, al timone e via dicendo.
È bene ora segnalare in breve la principale convenzione stabilita per descrivere le caratteristiche dei vari profili alari. La convenzione è quella dei profili NACA, in cui la sigla NACA è seguita da 4 cifre, di cui la prima indica, in percentuale rispetto alla corda, l'inarcamento massimo, la seconda l'ascissa x (stavolta in decimi rispetto alla corda) in cui si ha l'inarcamento massimo, le ultime due lo spessore massimo (percentuale rispetto alla corda). Si veda la FIGURA 1. Ad esempio, NACA 2412 indica che l'inarcamento massimo è pari al 2% della lunghezza della corda, che questo inarcamento massimo si trova nell'ascissa a 4/10 della corda, e che lo spessore massimo è pari al 12% della corda.
Come abbiamo visto nel precedente capitolo, la portanza può essere valutata con la formula, derivante dal teorema di Kutta-Joukovsky, secondo cui L = - r U G, ove G è la circolazione di un vortice che occorre sovrapporre al campo fluidodinamico acciocché il punto di ristagno posteriore si collochi in corrispondenza del bordo d'uscita del profilo alare (condizione di Kutta). Non possiamo entrare, nemmeno sommariamente, nel dettaglio delle teorie che, sulla base di ciò, giungono a formulare dei risultati numerici per quantificare la portanza; vogliamo però almeno esporre alcuni risultati di una di queste teorie, quella di Glauert sull'"ala infinita" (vedremo più in là che il fatto che l'ala abbia una lunghezza limitata, e più o meno grande, influenza il suo comportamento).
Dobbiamo fare solo un paio di considerazioni: la portanza L è di fatto determinata dalla distribuzione delle pressioni sul ventre e sul dorso del profilo. Oltre a questa portanza, che è una forza, la distribuzione di pressione determina anche un momento M. Ricorderemo brevemente che il momento di una forza rispetto a un dato punto è la forza risultante - in questo caso la portanza - moltiplicata per la distanza di questo punto dal punto di applicazione della forza risultante. Un momento applicato a un corpo rigido tende a far ruotare questo corpo: il momento applicato al profilo alare tenderà quindi a far "picchiare" o "cabrare" l'aeromobile e seconda che spinga il muso rispettivamente vero il basso o verso l'alto; si comprenderà dunque l'importanza di questa grandezza fluidodinamica nelle applicazioni.
Detto questo, possiamo prendere in considerazione un profilo alare che, per semplicità, viene ridotto alla sua linea media (Camber Line); supponiamo di esprimere questa linea tramite una equazione matematica, in cui compare l'altezza z in funzione dell'ascissa x (si veda al riguardo la FIGURA 2): se l'equazione di questa linea non è data, la si può costruire a partire dalla sigla del profilo NACA (si tratta infatti di costruire due equazioni paraboliche, a monte e a valle del punto di massimo spessore, in modo da soddisfare ai requisiti sintetizzati nella sigla relativi alla linea media); allora il coefficiente di portanza e quello di momento (il momento è calcolato rispetto al bordo d'attacco) sono dati rispettivamente da:
CL = p (a0 + a1/2);
CM = (-p/4) (a0 + a1 - a2/2);
ove i coefficienti sono dati da:
a0 = 2 a - Sf=0,p dz/dx df
ak = 4/p Sf=0,p dz/dx cos(k f) df (con k = 1,2)
in cui a è l'angolo d'incidenza e f è l'angolo formato dall'asse x e dalla retta che, a partire dal punto situato a metà della corda (x=c/2, se c è la lunghezza della corda alare), incontra la linea media nel generico punto x,z, cosicché è possibile porre x = (1 - cos f) c/2 per esprimere dz/dx in funzione di f e risolvere così i vari integrali.
Una considerazione della massima rilevanza riguarda il punto situato a ¼ della corda (x/c=1/4); se si tiene conto dell'espressione dei coefficienti CM e CL, si nota che risulta CM (c/4) = (-p/8) (a1 - a2), ciò vuol dire che non compare a0, e siccome questo è l'unico dei vari coefficienti ak a non dipendere dall'incidenza a, se ne conclude che il momento rispetto al punto x/c = ¼ è indipendente dall'incidenza; in special modo, si può vedere che un profilo a curvatura positiva, cioè ordinaria (come quella del profilo in FIGURA 1), è sempre picchiante, mentre inversamente un profilo a curvatura negativa è sempre cabrante. Questo punto (x/c = ¼) viene chiamato "centro aerodinamico".
Dobbiamo ora dire qualcosa sulla resistenza aerodinamica di un'ala. Abbiamo già individuato due importanti contributi alla resistenza aerodinamica complessiva, dati dalla resistenza d'attrito e dalla resistenza di forma. Per prima cosa va detto che i profili alari sono fatti in modo tale da rendere minima la resistenza di forma: la forma "a goccia" è tipicamente quella che permette di ottenere un simile risultato. La resistenza di forma di un profilo alare può assumere valori rilevanti solamente ad alti angoli di incidenza, ma allora si produce lo stallo (caduta improvvisa della portanza) e ci troviamo quindi in condizioni che non dobbiamo qui prendere in esame. Ne segue che in prima approssimazione si può trascurare questa resistenza di forma, e dire che, per un'ala di lunghezza indefinita, la resistenza è pressoché tutta d'attrito. Vedremo però in seguito che per le ali di lunghezza definita, come sono le ali realmente (l'"ala infinita" non è in effetti che un'astrazione) compare una ulteriore ed importante resistenza, la "resistenza indotta".
La resistenza d'attrito può essere stimata in vari modi, che hanno sempre e comunque come punto di partenza le equazioni di Navier-Stockes, su cui non ci soffermeremo. Vogliamo però esporre i risultati numerici di una di queste teorie, quella di Blasius, che è particolarmente semplice in quanto si applica a una lastra piana (ma può essere applicata con buona approssimazione anche a un'ala purché l'incidenza sia sufficientemente bassa). Ebbene secondo questa teoria la il coefficiente della resistenza d'attrito è dato approssimativamente da CDf = 1.33/(Re1/2).
Dobbiamo ora applicare tutte queste considerazioni relative al comportamento aerodinamico di un profilo, concepito in un'ala di lunghezza indefinita, alle ali reali, che hanno una lunghezza definita e, come dicevamo, questa differenza influisce significativamente sul comportamento di un'ala. Il dato essenziale da tener presente è che, a causa della differenza di pressione tra il ventre e il dorso di un'ala si crea, in corrispondenza dell'estremità alare, un moto vorticoso che va dal ventre ad alta pressione al dorso a bassa pressione, secondo quanto indicato nella FIGURA 3; ora questo moto vorticoso comporta, lungo tutta l'apertura alare, una componente di flusso verso il basso, fenomeno tanto meno accentuato ovviamente quanto più l'ala è allungata (cioè quanto più la corda media è piccola rispetto all'apertura alare), ma comunque in generale non trascurabile.
Questo flusso deviato verso il basso comporta diverse conseguenze sia sulla portanza sia sulla resistenza. Per quanto riguarda la portanza, abbiamo visto che essa può esser vista come il risultato di un vortice che si sovrappone al campo fluidodinamico che si genera intorno a un profilo alare; non è dunque difficile comprendere che la generazione dei vortici all'estremità dell'ala deve modificare il tutto; in particolare modifica la distribuzione della portanza lungo l'apertura alare: mentre nel caso dell'ala infinita (avente profilo identico in ogni sezione) il coefficiente di portanza era costante lungo tutta l'apertura alare, nel caso dell'ala finita esso varia in funzione della coordinata y relativa all'apertura alare (si veda la FIGURA 4).
Per quantificare l'effetto prodotto dall'ala finita, vi sono delle teorie che cercano di stimare l'intensità dei vortici prodotti all'estremità dell'ala, e che portano a ipotizzare una distribuzione ellittica della circolazione (definita al CAP. I) lungo l'apertura alare: G(y) = G0 (1 - (2y/b)2)1/2; ove G0 è la circolazione massima, che si trova nel punto centrale dell'ala (y=0): si veda la FIGURA 5. A questo punto, se tramite la teoria dell'ala infinita si è trovato il CL (dato dalla geometria del profilo e in funzione dell'incidenza), si può determinare il CL relativo all'ala finita nel seguente modo: per l'ala infinita la portanza relativa alla singola sezione (di fatto è una portanza su unità di lunghezza) è data da ½ r U2 c CL (qui si ha la corda c anziché la superficie S, come richiesto per avere la portanza complessiva: per ottenere quest'ultima bisognerebbe moltiplicare ancora tutto per l'apertura alare); dal teorema di Kutta-Joukowsky si ha che L = - r U G; quindi se, come dicevamo, si è ricavato dalla teoria dell'ala infinita il CL, si può facilmente, combinando le due relazioni appena ricordate, ricavare la circolazione G = - c CL U / 2; si può a questo punto prendere questo valore trovato per l'ala infinita come il valore massimo G0 della circolazione lungo l'ala finita, e ricavare quindi in funzione di esso la distribuzione della circolazione e da questa quella del coefficiente di portanza, il quale, applicando le stesse relazioni appena usate per l'ala infinita, è dato da CL(y) = 2 G(y) / U c(y); sostituendo, si ottiene che:
CL(y) ALA FINITA = CL ALA INFINITA (c/c(y)) (1 - (2y/b)2)1/2
ove c(y) può essere costante - è il caso dell'ala a pianta rettangolare - ma anche non costante (ad esempio ala rastremata e ala ellittica: si veda la FIGURA 6); in quest'ultimo caso la c che compare a numeratore deve essere intesa come la corda media dell'ala finita, e può essere ricavata dividendo la superficie alare totale S per l'apertura alare. Si può notare che se l'ala è a pianta ellittica il termine c(y) a denominatore ha la stessa forma della circolazione (ellittica) a numeratore: in questo caso i due termini si compensano e il coefficiente di portanza deve essere costante e identico a quello relativo all'ala infinita, come di fatto si osserva con buona approssimazione. Ad ogni modo, per calcolare la portanza complessiva occorrerà integrare il coefficiente di portanza relativo al profilo, appena trovato, lungo l'apertura alare (y), operazione questa che dà un risultato immediato nel caso particolare dell'ala ellittica, mentre negli altri casi sarà necessariamente più laboriosa. In FIGURA 6 sono riportate le distribuzioni del CL per le diverse forme dall'ala: questi grafici si potranno spiegare tenendo conto di tutto quanto appena esposto.
Bisogna ora indagare la resistenza dell'ala finita. Abbiamo detto nel CAP. I che in un'ala la resistenza di forma è trascurabile rispetto a quella d'attrito: quest'ultima è l'unica componente della resistenza totale per l'ala infinita, ma nel caso dell'ala finita si genera un'ulteriore componente, cui abbiamo già accennato, che si chiama "resistenza indotta". La resistenza indotta è dovuta anch'essa ai vortici di estremità d'ala: in realtà avviene che questi vortici generano un moto verso il basso in prossimità dell'ala; questo moto verso il basso si traduce in una variazione del vento apparente (si veda la FIGURA 7), al quale corrisponde una variazione dell'angolo che la forza aerodinamica complessiva presenta rispetto alla direzione del flusso indisturbato. La rotazione all'indietro della portanza può essere rappresentata come il risultato di una nuova resistenza (forza ortogonale alla portanza) che si viene ad aggiungere alla portanza calcolata senza questo effetto del vortice d'estremità d'ala (si veda sempre la FIGURA 7): è questa appunto la resistenza indotta. Il coefficiente non dimensionale di questa resistenza può essere stimata come CDi = CL2 / (p Ar), dove Ar è l'"Aspect ratio" cioè l'allungamento, definito come Ar = b2 / S (ove b è l'apertura alare e S la superficie; si noti che, essendo S/b = c, la corda media, si può anche porre Ar = b/c).
Concludendo, il coefficiente di resistenza totale di un'ala (finita) può essere espresso come CD = CD0 + CL2 / (p Ar), ove CD0 è il coefficiente della resistenza d'attrito, che può essere stimata come CD0 = 1.33/(Re1/2): questo termine è costante rispetto all'incidenza, dipende solo dalla natura del fluido e dalla velocità di volo (da cui si ricava il numero di Reynolds), mentre il termine relativo alla resistenza indotta aumenta come il quadrato del CL, il che significa anche come il quadrato dell'incidenza a (dato che, come abbiamo visto a proposito dell'ala infinita, il CL varia linearmente con l'incidenza). Infine si può notare che, a parità di incidenza, ali molto allungate presentano valori di resistenza indotta rispetto ad ali tozze: infatti più l'ala ha una forma allungata, meno risente dei fenomeni vorticosi d'estremità d'ala; e questo è il motivo fondamentale per cui gli alianti hanno di solito ali molto allungate.
